red recíproca
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Cualquier plano puede caracterizarse, también, por un vector (σhkl) perpendicular a él. Por lo tanto, la proyección del vector de posición de cualquier punto del plano sobre esta perpendicular es constante e independiente del punto; es la distancia al origen de ese plano, es decir, su espaciado (dhkl ).


Cualquier plano puede representarse por un vector perpendicular a él

De todos los vectores proporcionales, que son normales a un plano, si tomamos (como σhkl) el de módulo 1/dhkl, nos encontramos que el producto de este vector por dicha proyección (dhkl ) es un número entero, que da el orden del plano dentro de la familia hkl:
0 sería para el plano que pasa por el origen, 1 para el primero, 2 para el segundo, etc.
σhkl representa pues a toda la familia de planos hkl de interespaciado dhkl, de forma que se cumple el producto |σhkl| dhkl = 1.



Si definimos que el módulo del vector σhkl es 1/dhkl, el producto de ese vector, por el espaciado dhkl de la familia de planos, es la unidad.


Si tomamos un vector, 2 veces más largo que σhkl , el espaciado de la familia de planos que representa, será la mitad.

A partir de este vector normal, de módulo 1/dhkl, si tomamos otro que sea un número entero (n) de veces más largo, para mantener que el producto del módulo de σhkl por dhkl sea la unidad, éste nuevo vector (n.σhkl ) corresponderá a un espaciado n veces menor que el primero y por lo tanto describiría a la familia de planos nh,nk,nl.
De esta manera, resulta que los vectores normales (σhkl) son recíprocos a los espaciados interplanares. Los extremos de estos vectores forman también una red periódica de puntos, que por esa propiedad de reciprocidad se llama red recíproca de la red original de traslaciones. Los puntos recíprocos así obtenidos reciben el triplete de números hkl (índices de Miller) que representa a la correspondiente familia de planos.



Generación de algunos puntos recíprocos de una red. Por claridad del dibujo el tercer eje de la red directa (c) sería perpendicular al dibujo. Las líneas rojas representan a los planos cuyos índices se indican en azul. Por ejemplo, el punto recíproco de índices (3,1,0) está situado sobre el vector perpendicular al plano (3,1,0) y su distancia al origen O es inversamente proporcional al espaciado de dicha familia de planos.

De este modo, la red directa y sus planos están solidariamente asociados con la red recíproca. Además, sobre esta red recíproca se puede definir también una celdilla (celdilla recíproca) cuyas traslaciones periódicas vienen determinadas por tres ejes recíprocos que forman entre sí unos ángulos recíprocos.
Si los ejes y ángulos de la celdilla directa se denominaban con las letras a, b, c, α, β, γ, los de la celdilla recíproca se denominan con las mismas letras, añadiéndoles un asterisco: a*, b*, c*, α*, β*, γ*. Obviamente, estos ejes recíprocos (a*, b*, c*) corresponderán a los vectores σ100, σ010 y σ001, respectivamente, de forma que cualquier vector recíproco se puede expresar como una combinación lineal de estos tres vectores recíprocos de base y cuyas componentes son los índices del vector, es decir, los índices de la familia de planos que describe:
σhkl = h a* + k b* + l c*
Vector de posición de cualquier punto recíproco


Relación solidaria entre las celdillas directa y recíproca de un cristal


Relación solidaria entre las celdillas directa y recíproca de un cristal. Se ha dibujado sólo una celdilla plana para la mejor visualización de las relaciones de perpendicularidad entre ejes directos y recíprocos. Los terceros ejes, directo y recíproco respectivamente (c, c*) son perpendiculares al plano del dibujo.

Existe una relación geométrica definida entre los ejes de la celdilla directa y los de la celdilla recíproca:



Relación geométrica entre los parámetros de las celdillas directa y recíproca. V representa el volumen de la celdilla directa y el signo x significa producto vectorial. Recíprocamente, serían las relaciones que definen los parámetros directos a partir de los recíprocos. El volumen de la celdilla directa se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
V = (a x b) . c = a. b. c (1 - cos2α - cos2β - cos2γ + 2 cos α cos β + 2 cos α cos γ + 2 cos β cos γ)1/2

Nótese que, de acuerdo con las definiciones anteriores, el módulo de a* es igual a la inversa del espaciado d100 (|a*| = 1/d100), que |b*| = 1/d010 y que |c*| = 1/d001, y que, por lo tanto los productos escalares: a.a* = 1, a.b* = 0 y análogamente con el resto de parejas de ejes.
Como ejercicio merece la pena que el lector interesado visite este "applet" Java sobre la construcción de la red recíproca que ofrecen Nicolas Schoeni y Gervais Chapuis de la Ecole Polytechnique Fédéral de Lausanne (Suiza). Si hay problemas con este "applet" se recomienda visitar las indicaciones que se ofrecen en este enlace.

Realizado por: Greiner A. Gonzalez R.
Electronica en Estado Solido
http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_04.html