Cristales semiconductores

La red cristalina y la base
Un cristal es un regular, ordenada disposición de los átomos en una escala grande. Los átomos pueden ser de un tipo único o la repetición de un arreglo complejo de muchos tipos diferentes de átomos. El cristal puede ser considerado como compuesto de dos partes separadas: la celosía y la base. La celosía es una disposición ordenada de los puntos en el espacio, mientras que la base consiste en la simple disposición de los átomos que se repite en cada punto de la red para construir la estructura cristalina. Una buena analogía, se modela papel tapiz. El patrón de la base es como un motivo en el fondo de pantalla y la red se periódicas de los puntos en los que el motivo se repite. En la figura 1, los puntos de la red se corresponden con el centro de la base, pero esto no tiene por qué ser el caso.

Figura 1. Un cristal puede ser pensado como como fondo de pantalla. El motivo es análoga a la base y la disposición del motivo sobre la superficie es como de la red.
Los puntos de la red se especifican usando vectores. Vectores de celosía son las más cortas distancias a los puntos más cercanos vecinos en la red convencional y se denota por A, B y C. El ángulo entre estos vectores se dan los símbolos, a, ß y ?. Un ejemplo sencillo de dos dimensiones se muestra en la figura. 2. Cualquiera de los dos puntos de la red se puede acceder mediante una combinación de los vectores de celosía a y b. Obviamente, en tres dimensiones, cualquier punto de la red se puede acceder mediante una combinación de los tres vectores reticulares a, b y c. En 2-dimensiones esto es,

El vector de base, R es un vector de un punto de la red a otra en términos de los vectores de celosía. Dado que la red tiene el mismo aspecto (invarient) en ir de un punto de la red a otra, la red tiene simetría traslacional.
Primitivo de la célula
La célula primitiva es la parte más pequeña de la red que se repite la reconstrucción de la estructura del cristal entero.
La celda unidad - es un volumen repite en toda la red. La celda unidad no tiene que ser la célula primitiva.

Figura 2. Los vectores de celosía son una combinación lineal de los vectores de la base.
Las Rejas Catorce Bravais
Las formas en que podemos especificar los puntos de la red en el espacio y mantener la simetría de traslación es limitada. En 1848, Auguste Bravais demostró que hay, de hecho, sólo catorce Rejas punto posible y no más. Por sus esfuerzos, el término red de Bravais se utiliza a menudo en lugar de punto de celosía.

Tabla 1. De siete sistemas de cristal componen catorce tipos de redes de Bravais en tres dimensiones.
- P Primitiva: celda unidad simple
F - Face centrado en: el punto adicional en el centro de cada cara
I - Cuerpo centrado en: el punto adicional en el centro de la celda
C - Centrado: punto adicional en el centro de cada extremo
- R Romboedro: clase hexagonal sólo
Índices de Miller y la notación de
Índices de Miller se utilizan para identificar los planos de los átomos dentro de una estructura de cristal. Índices de Miller se escriben como tres dígitos entre paréntesis, (100), por ejemplo. Habida cuenta de las intersecciones del plano con los ejes cristalográficos. (direcciones de los vectores de red), uniéndose a las intersecciones con las líneas define un plano que atraviesa el cristal. Los índices de Miller se calcula tomando el inverso de la intercepta y multiplicarla por su mayor factor común. Los números negativos se representan mediante la colocación de una barra sobre la parte superior del dedo. Si esto le suena para nada complicado, es fácil de ilustrar con algunos ejemplos. Si la intersección está en el infinito, el plano es paralelo al eje y el índice de Miller es cero, puesto que, 1 / &inf; = 0.

Figura 3. Ejemplo de los índices de Miller muestra el plano de los átomos que representan
El diligente lector habrá observado que, debido a la simetría de la unidad de la célula de la red, ciertos planos son equivalentes. En la red cúbica, por ejemplo, (100) es equivalente a cinco aviones de otros, (010), (001), (100), (010), (001) y de reconocer esto, el conjunto de índices de Miller se escribe ( 100) que significa que el conjunto de planos (100) equivalentes en virtud de la simetría. La belleza de este sistema, es que los aviones de similar puede observarse en cualquiera de los grupos de puntos de red de Bravais. Los índices de Miller también son similares en la forma en que los aviones son descritos en términos matemáticos.
Como vimos anteriormente, un vector de un punto de la red a otra se puede especificar en términos de los vectores de celosía de la célula primitiva. Una notación abreviada, las direcciones se han mostrado como tres números entre corchetes [uvw] donde u, v, w son números enteros y es importante no confundir éstas con índices de Miller. La dirección es entonces

(1)
Direcciones equivalentes son designados mediante corchetes angulares .
La red recíproca
Las celosías de reciprocidad es el conjunto de puntos que representan los valores permitidos de wavevectors para las series de Fourier y Transformadas de Fourier con la periodicidad de la red. El valor de k permitido para cualquier vector está dado por

(2)
donde f (k) es la transformada de Fourier de f (r). El valor de k para un segundo punto (también en la red) f (r + R) es


(3)
Dado que la red es periódico, es de esperar que cualquiera de 2 puntos en la red real del espacio se devuelven el mismo valor de k. Por lo tanto, las ecuaciones (2) y (3) a ser igual, si


(4)
Esta restricción sólo permite que ciertos vectores (n). Vectores que satisfacen (4) están dadas por

(5)
Por último, el vector k es más les da el símbolo G.

(6)
Donde h, j, l son enteros y los vectores de A *, B * y C * son los vectores de la red recíproca. En términos de la red de vectores a, b, c la red recíproca vectores A *, B * y C * son dados por:

(7)
El denominador en (6) son el volumen de la celda unidad y actuar como una constante de normalización. Uso de las relaciones de la red y la red recíproca de la transformación de celosía real a la red recíproca puede ser calculado.
De Wigner-Seitz de la célula
La celda de Wigner-Seitz es una célula primitiva, que muestra la simetría total de la red. La siguiente figura muestra la construcción de una celda de Wigner-Seitz. En el espacio de reciprocidad, la celda de Wigner-Seitz es también una zona de Brillouin y vamos a utilizar para construir zonas de Brillouin más tarde.
a) Seleccionar un punto de la red y dibujar las líneas de construcción a los puntos más cercanos vecinos.
b) Dibujar líneas que cortará perpendicularmente las líneas de construcción
c) El más pequeño cerrado área representa el celular de Wigner-Seitz. Aquí se muestra en naranja.
Figura 4. La construcción de la celda de Wigner-Seitz.
Zonas de Brillouin
La zona de Brillouin se define en la red recíproca como el volumen encerrado en una celda de Wigner-Seitz. En los límites de la zona de Brillouin, la condición de difracción de Bragg en la red recíproca deben ser satisfechas.

(8)
Donde k ' es la wavevector de la onda difractada y k es la wavevector incidente y G es un vector de la red recíproca. Cuadratura (8) da,

(9)
y suponiendo que la onda es elásticamente dispersos, entonces 2 k '= k 2. La ecuación (9) se convierte en 2 × k G =- G 2. Por último, si G es un vector de celosía, también lo es - G y la ecuación puede ser reescrita como

(10)
La interpretación geométrica de la ecuación (10) es que la condición de difracción se cumple si k se encuentra en el plano perpendicular que divide el vector de celosía G.

Figura 5. La interpretación geométrica de la condición de difracción de Bragg que da lugar a los límites de la zona de Brillouin.
Con el fin de construir las zonas de Brillouin (BZ), se utiliza el método de construcción de la celda de Wigner-Seitz (WS) esbozó más arriba, pero utilizando el espacio de la red recíproca. Otras zonas de Brillouin puede construirse mediante la adopción de la siguiente serie de puntos de la red más cercana desde el punto de partida y repetir el proceso.
Dado que están relacionados con la red cristalina y red recíproca, la WS celda definida en el espacio real y de la WS en el espacio k también están relacionados. In particular, the WS defined in the bcc real space lattice gives a fcc BZ in reciprocal lattice and vice versa. En particular, se definió en la red del BCC espacio real da una BZ de la FCC en la red recíproca y viceversa.

Figure 6. Figura 6. The transformation of the WS cell of bcc lattice in real space transforms to a Brillouin zone in a fcc lattice in reciprocal space while the WS cell of a fcc lattice transform to a Brillouin zone of a bcc lattice in reciprocal space. La transformación de la Era de la célula de red cristalina BCC en el espacio real se transforma en una zona de Brillouin en una red de FCC en el espacio recíproco, mientras que el WS célula de una red FCC transformar a una zona de Brillouin de una red BCC en el espacio recíproco.

Puntos de la simetría en la zona de Brillouin se da especial importancia sobre todo cuando la determinación de la bandstructure del material.
El bandstructure de los semiconductores son las energías permite que los electrones pueden tener. Estas bandas de energía varían con el k-space (espacio de la red recíproca). Por lo tanto, los puntos de simetría de alta en la zona de Brillouin tienen una importancia específica. Tal vez la más importante, al menos para los dispositivos optoelectrónicos, es en k = 0, lo que se conoce como el punto gamma. Como es de esperar, se da el símbolo, Γ.

Figura 7. Algunos puntos importantes sobre la simetría de la zona de Brillouin de un cristal de la FCC (espacio real) y las direcciones de los planos. [1]

Tabla 2. k-vectores de la simetría de los puntos importantes para la estructura cristalina de la FCC. . Los índices de los puntos de X son una permutación cíclica de los ejes. Por ejemplo, si i = x = y entonces j, k = Z. Si i = y entonces j = z y k = x, etc

Greiner A. Gonzalez R.
Electronica en Estado Solido